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纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
其中：xi＞0是总产出列向量X中的第i个元素，即部门i的总产出，bij≥0是列昂惕夫逆矩阵B=（I-A）-1=（bij）n×n中的第i行第j列元素，即部门j对部门i的完全需要系数，I是单位矩阵，A=（aij）n×n是非负的投入系数矩阵，yj≥0是最终需求列向量Y中的第j个元素，即部门j的最终需求。与产量模型相对偶的是价格模型，即
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
其中：pj＞0是价格行向量P中的第j个元素，即部门j的价格，vi≥0是增加价值系数（即单位产出的增加价值）行向量V中的第i个元素，即部门i的增加价值系数。
在对产量模型做比较静态分析时，有两种基本方法。第一种方法是以最终需求为外生变量，以总产出为内生变量，分析最终需求的变动对总产出的影响；由于列昂惕夫逆矩阵元素是投入系数的函数，所以第二种方法是以投入系数为外生变量，以列昂惕夫逆矩阵元素和总产出为内生变量，分析投入系数的变动对列昂惕夫逆矩阵元素和总产出的影响。
同理，在对价格模型做比较静态分析时，也有两种基本方法。第一种方法是以增加价值系数为外生变量，以价格为内生变量，分析增加价值系数的变动对价格的影响；第二种方法是以投入系数为外生变量，以列昂惕夫逆矩阵元素和价格为内生变量，分析投入系数的变动对列昂惕夫逆矩阵元素和价格的影响。
限于篇幅，本文仅对投入产出模型做某些比较静态分析。同时，本文将指出已有文献中的有关错误，并给出正确的结果。
在本文中，0既可以表示数零，又可以表示零向量或零矩阵；符号⇔表示等价。向量或矩阵D的转置用Dt表示。令行向量E=（1，1，…，1）。设mr是产出乘数行向量M=EB中的第r个元素，即
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是部门r的产出乘数。
根据Evans（1954，p.463）的结果可知，当投入系数矩阵A中发生变化的元素仅在第i行时，列昂惕夫逆矩阵元素的变化为
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其中，Δ表示增量，因此部门r的产出乘数的增量为
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命题1 设A中发生变化的元素仅在第i行。则至少有一个部门的产出乘数变化，即ΔM≠0，并且，每个部门的产出乘数的增长率都等于δ的充分必要条件是A中第i行的每个元素都变化，且其增量都相等，即Δaij=δ/（1+δ）mi，j=1，2，…，n。
证明 设A中只有第i行的
，…，
变化，j1，…，j，j，…，j是1，2，…，n的一个置换，1≤s≤n。由公式（4）可知
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因此，若ΔM=0，令
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则有
。再令
，其中Q是一个置换矩阵，则必有
，这与假设矛盾，所以ΔM≠0。由公式（3）可得
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因此由公式（2）或（4）可知
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所以，令ωi=δ/（1+δ）mi，再由公式（4）可得
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作为公式（3）的对偶型，当投入系数矩阵A中发生变化的元素仅在第j列时，列昂惕夫逆矩阵元素的变化为
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由公式（1）和（5）可知，当最终需求列向量Y不变，且投入系数矩阵A中发生变化的元素仅在第j列时，各部门总产出的增量为
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命题2 设最终需求列向量Y不变，且投入系数矩阵A中只有第j列的
，…，
变化。则至少有一个部门的总产出变化，即ΔX≠0，并且
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其中，i1，…，ir，ir+1，…，in是1，2，…，n的一个置换，1≤r≤n，
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证明 由公式（6）可得
。因此，若ΔX=0，令
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则有
。再令
，其中Q一个置换矩阵，则必有
，这与假设矛盾，所以ΔX≠0。由公式（6）和（5）可知
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因此由公式（6）和（7）可得
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由命题2可得
推论1 如果在A的第j列中只有一部分元素变化，而其余部分的元素不变，那么，每个部门的总产出的增长率都相等的一个必要条件是：各个已变元素的增量不能有异号，这些增量与对应部门的最终需求线性相关，而其余部门的最终需求等于零。
与命题2相对偶，我们有
命题3 设增加价值系数行向量V不变，且投入系数矩阵A中只有第i行的
，…，
变化。则至少有一个部门的价格变化，即ΔP≠0，并且
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其中，j1，…，jr，jr+1，…，jn是1，2，…，n的一个置换，
1≤r≤n，σi=ε/（1+ε）pi。
由命题3可得
推论2 如果在A的第i行中只有一部分元素变化，而其余部分的元素不变，那么，每个部门的价格增长率都相等的一个必要条件是：各个已变元素的增量不能有异号，这些增量与对应部门的增加价值系数线性相关，而其余部门的增加价值（系数）等于零。
上面是以投入系数为外生变量，以列昂惕夫逆矩阵元素和总产出或价格为内生变量的比较静态分析。下面我们考虑以最终需求为外生变量，以总产出为内生变量，或以增加价值系数为外生变量，以价格为内生变量的比较静态分析。
英国学者Woods（1978）在他著的《数理经济学》的第二章第六节中，对投入产出产量模型做了比较静态分析。他以最终需求为外生变量，以总产出为内生变量，分析最终需求的变动对总产出的影响。他凭“直觉”，推导出了他的“定理79”。笔者认为，该定理的推导有误，因而该定理的结果（2）（即“商品k的产出增加的幅度将最大”）不成立。下面举两个反例来给予说明，其中我们沿用Woods使用的某些术语和符号。由“技术是不可分解的”假设，可知列昂惕夫逆矩阵B的每个元素都是正的。
例1 设
，i=1，…，k-1，k+1，…，n。则由公式（1）可知
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这就是说，当只有商品k的最终需求大于零并有增加，且其他所有商品的最终需求都等于零并不变时，每个商品的产出的增加幅度都等于商品k的最终需求的增加幅度。因此，商品k的产出的增加幅度不大于其他商品的产出的增加幅度。所以，Woods的“定理79”中的结果（2）不成立。
例2 设n=3，
，
，min（a12，a31）＞0=a32。则有
b11=（1-a22）（1-a33）/|I-A|，
b12=a12（1-a33）/|I-A|，
b21=［a21（1-a33）+a23a31］/|I-A|，
b22=［（1-a11）（1-a33）-a13a31］/|I-A|，
b31=a31（1-a22）/|I-A|，
b32=a12a31/|I-A|，
其中，行列式|I-A|＞0，即
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所以，
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由公式（8）至（10）可得
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这就是说，在一个由三种商品组成的技术不可分解的经济系统中，若只有商品1的最终需求增加，商品2的最终需求大于零且不变，商品3的最终需求等于零且不变，而商品2对商品3的直接消耗系数等于零，则商品1和商品3的产出的增加幅度相等，都大于商品2的产出的增加幅度，即β1-1=β3-1＞β2-1＞0。因此，由a32=0可知
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所以，Woods的“方程［1］”中的不等式不成立。换句话说，“定理79”中的推导有错误，用它是得不出结果（2）的。
实际上，就此问题而言，根据笔者的研究成果可得
命题4 在一个经济系统中，若只有部门i的最终需求增加，其他部门的最终需求不变，且投入系数矩阵A不变，则（ⅰ）每个部门的总产出的增长率都相等的充分必要条件是只有部门i的最终需求大于零，而其他部门的最终需求都等于零；（ⅱ）部门i的总产出的增长率不小于其他部门的总产出的增长率且至少大于一个部门的总产出的增长率的充分必要条件是至少有一个非部门i的最终需求大于零；（ⅲ）部门i的总产出的增长率大于其他所有部门的总产出的增长率的充分条件是每个部门（部门i可除外）的最终需求都大于零。
限于篇幅，命题4的证明从略。由命题4可知，当只有一个部门的最终需求增加时，与其他部门相比，该部门的总产出的增长率是否最大？此问题与各部门的最终需求是否大于零密切相关，而Woods却忽视了这个重要条件。需要指出的是，在命题4的证明中，必须使用由笔者（1988）发现的列昂惕夫逆矩阵的一个重要性质，即列昂惕夫逆矩阵B中的元素一定满足
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其中，b（i）kj是列昂惕夫矩阵R=I-A去掉第i行第i列而余下的n-1阶矩阵Ri的逆矩阵R-1i中的与bkj相对应的元素。如果不利用这一重要性质，我们就无法证明命题4。
与命题4相对偶，我们有
命题5 在一个经济系统中，若只有部门j的增加价值系数增加，其他部门的增加价值系数不变，且投入系数矩阵A不变，则（ⅰ）每个部门的价格增长率都相等的充分必要条件是只有部门j的增加价值（系数）大于零，而其他部门的增加价值（系数）都等于零；（ⅱ）部门j的价格增长率不小于其他部门的价格增长率且至少大于一个部门的价格增长率的充分必要条件是至少有一个非部门j的增加价值（系数）大于零；（ⅲ）部门j的价格增长率大于其他所有部门的价格增长率的充分条件是每个部门（部门j可除外）的增加价值（系数）都大于零。
（本文原载《数量经济技术经济研究》2000年第12期）
');" class="a2">收藏在一个由n个部门组成的经济系统中，投入产出模型的基本模型是产量模型，即
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其中：xi＞0是总产出列向量X中的第i个元素，即部门i的总产出，bij≥0是列昂惕夫逆矩阵B=（I-A）-1=（bij）n×n中的第i行第j列元素，即部门j对部门i的完全需要系数，I是单位矩阵，A=（aij）n×n是非负的投入系数矩阵，yj≥0是最终需求列向量Y中的第j个元素，即部门j的最终需求。与产量模型相对偶的是价格模型，即
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其中：pj＞0是价格行向量P中的第j个元素，即部门j的价格，vi≥0是增加价值系数（即单位产出的增加价值）行向量V中的第i个元素，即部门i的增加价值系数。
在对产量模型做比较静态分析时，有两种基本方法。第一种方法是以最终需求为外生变量，以总产出为内生变量，分析最终需求的变动对总产出的影响；由于列昂惕夫逆矩阵元素是投入系数的函数，所以第二种方法是以投入系数为外生变量，以列昂惕夫逆矩阵元素和总产出为内生变量，分析投入系数的变动对列昂惕夫逆矩阵元素和总产出的影响。
同理，在对价格模型做比较静态分析时，也有两种基本方法。第一种方法是以增加价值系数为外生变量，以价格为内生变量，分析增加价值系数的变动对价格的影响；第二种方法是以投入系数为外生变量，以列昂惕夫逆矩阵元素和价格为内生变量，分析投入系数的变动对列昂惕夫逆矩阵元素和价格的影响。
限于篇幅，本文仅对投入产出模型做某些比较静态分析。同时，本文将指出已有文献中的有关错误，并给出正确的结果。
在本文中，0既可以表示数零，又可以表示零向量或零矩阵；符号⇔表示等价。向量或矩阵D的转置用Dt表示。令行向量E=（1，1，…，1）。设mr是产出乘数行向量M=EB中的第r个元素，即
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是部门r的产出乘数。
根据Evans（1954，p.463）的结果可知，当投入系数矩阵A中发生变化的元素仅在第i行时，列昂惕夫逆矩阵元素的变化为
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其中，Δ表示增量，因此部门r的产出乘数的增量为
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命题1 设A中发生变化的元素仅在第i行。则至少有一个部门的产出乘数变化，即ΔM≠0，并且，每个部门的产出乘数的增长率都等于δ的充分必要条件是A中第i行的每个元素都变化，且其增量都相等，即Δaij=δ/（1+δ）mi，j=1，2，…，n。
证明 设A中只有第i行的
，…，
变化，j1，…，j，j，…，j是1，2，…，n的一个置换，1≤s≤n。由公式（4）可知
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因此，若ΔM=0，令
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
则有
。再令
，其中Q是一个置换矩阵，则必有
，这与假设矛盾，所以ΔM≠0。由公式（3）可得
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
因此由公式（2）或（4）可知
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
所以，令ωi=δ/（1+δ）mi，再由公式（4）可得
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
作为公式（3）的对偶型，当投入系数矩阵A中发生变化的元素仅在第j列时，列昂惕夫逆矩阵元素的变化为
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
由公式（1）和（5）可知，当最终需求列向量Y不变，且投入系数矩阵A中发生变化的元素仅在第j列时，各部门总产出的增量为
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
命题2 设最终需求列向量Y不变，且投入系数矩阵A中只有第j列的
，…，
变化。则至少有一个部门的总产出变化，即ΔX≠0，并且
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
其中，i1，…，ir，ir+1，…，in是1，2，…，n的一个置换，1≤r≤n，
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
证明 由公式（6）可得
。因此，若ΔX=0，令
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
则有
。再令
，其中Q一个置换矩阵，则必有
，这与假设矛盾，所以ΔX≠0。由公式（6）和（5）可知
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因此由公式（6）和（7）可得
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由命题2可得
推论1 如果在A的第j列中只有一部分元素变化，而其余部分的元素不变，那么，每个部门的总产出的增长率都相等的一个必要条件是：各个已变元素的增量不能有异号，这些增量与对应部门的最终需求线性相关，而其余部门的最终需求等于零。
与命题2相对偶，我们有
命题3 设增加价值系数行向量V不变，且投入系数矩阵A中只有第i行的
，…，
变化。则至少有一个部门的价格变化，即ΔP≠0，并且
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
其中，j1，…，jr，jr+1，…，jn是1，2，…，n的一个置换，
1≤r≤n，σi=ε/（1+ε）pi。
由命题3可得
推论2 如果在A的第i行中只有一部分元素变化，而其余部分的元素不变，那么，每个部门的价格增长率都相等的一个必要条件是：各个已变元素的增量不能有异号，这些增量与对应部门的增加价值系数线性相关，而其余部门的增加价值（系数）等于零。
上面是以投入系数为外生变量，以列昂惕夫逆矩阵元素和总产出或价格为内生变量的比较静态分析。下面我们考虑以最终需求为外生变量，以总产出为内生变量，或以增加价值系数为外生变量，以价格为内生变量的比较静态分析。
英国学者Woods（1978）在他著的《数理经济学》的第二章第六节中，对投入产出产量模型做了比较静态分析。他以最终需求为外生变量，以总产出为内生变量，分析最终需求的变动对总产出的影响。他凭“直觉”，推导出了他的“定理79”。笔者认为，该定理的推导有误，因而该定理的结果（2）（即“商品k的产出增加的幅度将最大”）不成立。下面举两个反例来给予说明，其中我们沿用Woods使用的某些术语和符号。由“技术是不可分解的”假设，可知列昂惕夫逆矩阵B的每个元素都是正的。
例1 设
，i=1，…，k-1，k+1，…，n。则由公式（1）可知
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
这就是说，当只有商品k的最终需求大于零并有增加，且其他所有商品的最终需求都等于零并不变时，每个商品的产出的增加幅度都等于商品k的最终需求的增加幅度。因此，商品k的产出的增加幅度不大于其他商品的产出的增加幅度。所以，Woods的“定理79”中的结果（2）不成立。
例2 设n=3，
，
，min（a12，a31）＞0=a32。则有
b11=（1-a22）（1-a33）/|I-A|，
b12=a12（1-a33）/|I-A|，
b21=［a21（1-a33）+a23a31］/|I-A|，
b22=［（1-a11）（1-a33）-a13a31］/|I-A|，
b31=a31（1-a22）/|I-A|，
b32=a12a31/|I-A|，
其中，行列式|I-A|＞0，即
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
所以，
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
由公式（8）至（10）可得
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
这就是说，在一个由三种商品组成的技术不可分解的经济系统中，若只有商品1的最终需求增加，商品2的最终需求大于零且不变，商品3的最终需求等于零且不变，而商品2对商品3的直接消耗系数等于零，则商品1和商品3的产出的增加幅度相等，都大于商品2的产出的增加幅度，即β1-1=β3-1＞β2-1＞0。因此，由a32=0可知
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
所以，Woods的“方程［1］”中的不等式不成立。换句话说，“定理79”中的推导有错误，用它是得不出结果（2）的。
实际上，就此问题而言，根据笔者的研究成果可得
命题4 在一个经济系统中，若只有部门i的最终需求增加，其他部门的最终需求不变，且投入系数矩阵A不变，则（ⅰ）每个部门的总产出的增长率都相等的充分必要条件是只有部门i的最终需求大于零，而其他部门的最终需求都等于零；（ⅱ）部门i的总产出的增长率不小于其他部门的总产出的增长率且至少大于一个部门的总产出的增长率的充分必要条件是至少有一个非部门i的最终需求大于零；（ⅲ）部门i的总产出的增长率大于其他所有部门的总产出的增长率的充分条件是每个部门（部门i可除外）的最终需求都大于零。
限于篇幅，命题4的证明从略。由命题4可知，当只有一个部门的最终需求增加时，与其他部门相比，该部门的总产出的增长率是否最大？此问题与各部门的最终需求是否大于零密切相关，而Woods却忽视了这个重要条件。需要指出的是，在命题4的证明中，必须使用由笔者（1988）发现的列昂惕夫逆矩阵的一个重要性质，即列昂惕夫逆矩阵B中的元素一定满足
纪念中国社会科学院建院三十周年优秀科研成果奖获奖论文集（第四届上册）
其中，b（i）kj是列昂惕夫矩阵R=I-A去掉第i行第i列而余下的n-1阶矩阵Ri的逆矩阵R-1i中的与bkj相对应的元素。如果不利用这一重要性质，我们就无法证明命题4。
与命题4相对偶，我们有
命题5 在一个经济系统中，若只有部门j的增加价值系数增加，其他部门的增加价值系数不变，且投入系数矩阵A不变，则（ⅰ）每个部门的价格增长率都相等的充分必要条件是只有部门j的增加价值（系数）大于零，而其他部门的增加价值（系数）都等于零；（ⅱ）部门j的价格增长率不小于其他部门的价格增长率且至少大于一个部门的价格增长率的充分必要条件是至少有一个非部门j的增加价值（系数）大于零；（ⅲ）部门j的价格增长率大于其他所有部门的价格增长率的充分条件是每个部门（部门j可除外）的增加价值（系数）都大于零。
（本文原载《数量经济技术经济研究》2000年第12期）
